I - La prévision des ventes.
- Principe.
Elle consiste à déterminer les
ventes futures à la fois en quantité et en valeur en tenant compte des
tendances et contraintes imposées à l’entreprise. C’est pourquoi on doit voir
les outils.
Il faut tenir en compte également
des politiques de décisions générales. Il va en résulter un chiffre d’affaire
prévisionnel.
Le but est que le budget des
ventes permette d’établir le programme de production, le programme d’approvisionnement
et d’étudier l’équilibre prévisionnel de la trésorerie.
La prévision des ventes à long
terme permet d’envisager les investissements à réaliser et leurs plans de
financement. Organiser la distribution ou logistique de l’entreprise.
La prévision des ventes est la
base de la gestion budgétaire.
- Les bases des prévisions.
Les
informations viennent à la fois de l’extérieur de l’entreprise et de l’activité
de l’entreprise.
- L’analyse des informations passées.
Les outils statistiques :
Valable uniquement à court terme. On suppose que les hypothèses de travail sont
valables dans l’avenir. Les outils statistiques ne sont pas valables pour les
nouveaux produits.
- Analyse d’informations actuelles.
Informations
sur le marché (enquêtes….) et informations sur les choix de l’entreprise.
- Les techniques des prévisions.
Selon que la prévision concerne
les produits existants ou des produits nouveaux, les techniques de prévision
diffèrent.
- Techniques de prévision pour les marchés et produits déjà existants.
a) Les méthodes quantitatives (analyses statistiques)
Elles s’appuient sur l’examen de
séries chronologiques afin de découvrir des tendances et des évolutions et les
prolonger dans le futur ; c'est-à-dire par extrapolation.
-
Les techniques d’extrapolation :
Préalable et nécessaire :
l’observation graphique. Il faut toujours examiner son nuage de points pour
pouvoir déterminer la méthode à appliquer. L’examen de la série peut faire
apparaître à la fois le phénomène.
-
Recherche des tendances générales.
On va rechercher
l’évolution qui va se matérialiser par une courbe qui passera au milieu du
nuage de points. Courbe dont on détermine l’équation.
·
Cas de tendance linéaire.
- Ajustement linéaire :
1. a : Régression simple et multiple.
Deux variables quantitatives X
et Y.
L a régression permet de formaliser la relation qui s’établit entre elles. La
régression de Y en X est destinée à expliquer les valeurs de Y
par celles prises par X et la régression de X
en Y
permet d’expliquer les valeurs de X par celles de Y. On l’appelle
régression simple.
La fonction
est : f(x) = aX +b, ou a et b sont deux réels à déterminer.
- b : Ajustement par la méthode de moindres carrés.
« La meilleure droite d’ajustement au sens de la méthode du moindre carré
est celle pour lesquelles la somme des carrés des distances des points
représentatifs à la droite, mesurées parallèlement à l’axe des ordonnées, est
la plus faible »
b= Y* - aX* et a = Somme(Xi
– X*)( Y1 – Y*)
Somme
(Xi – X*)^2
Ou a = Somme XiYi – NX*Y*
Somme(Xi^2 – X*^2 N
Le cœfficient
"a" correspond à la pente de la droite du moindre carré.
Dans le cas
d’une régression de X et Y, l’équation de droite est X= a’Y + b’
a’=
Cov(x,y) = somme(Xi – X*)(Y1-Y*)
écart.Type^2 Y somme (Yi –
Y*)^2
- Extension de l’ajustement linéaire.
Les relations ou fonctions non
linéaires doivent être préalablement transformées afin que les principes de
l’ajustement linéaire leur soient appliqués.
- a : Fonction exponentielle.
Ce type de relation est utilisé
dans la description de l’évolution d’une variable en fonction de temps dans le
cas où son taux de variation est constant. Par exemple, la valeur acquise d’un
capital placé pendant plusieurs périodes à un taux fixe.
Il s’agit des fonctions de la
forme Y = b.a^x où a et b sont
les constantes. La forme logarithmique de cette égalité s’écrit :
Log y = Log b + XLog a
= X log a + Log b
Posons :
Y= log y ; B = log b ; A = Log a
L’égalité
devient : Y = B + A^X
Dés lors, il est possible de
calculer les valeurs de A et B par la méthode du moindre carré. Une fois celle
– ci obtenues, la transformation inverse doit être opérée.
A = Log a => a =
10^log a = 10^A; B = log b => b = 10^log b = 10 ^B
La transformation peut être
opérée à l’aide de logarithme népérien. Dans ce cas, l’interversion finale est
de la forme :
a =
e^ln a = e^A et b = e ^ln b = e^B .
- b : Fonction puissance
Ce type de fonction permet de
décrire les relations de variables X et Y dont les taux de
variations sont liés par une valeur constante a (par exemple, l’évolution du
chiffre d’affaires selon le prix). Ces fonctions sont de la forme : Y =
bX^a où a et b sont les constantes. Le logarithme de égalité
s’écrit :
Log y = log b + a log x = a log x + log b
Posons :
Y = log y ; X = log x ; B = log b ; L’égalité devient : Y= a X + B
Une fois les valeurs de a et
B
déterminées par la méthode de moindre carré, seule la valeur de B
doit être obtenue par la transformation inverse, car le coefficient a
n’a pas été transformé.
B= log b => b =
10^log b = 10^B
- Corrélation:
4. a : Définition : Le
coefficient de corrélation linéaire noté r mesure l’intensité de la liaison
entre les variables X et Y. Il est défini par le rapport :
r = somme ( Xi- X*)(Yi – Y*)
racine carré (somme(Xi-X*)^2 x somme(Yi –
Y*)^2
ou r = Somme
XiYi – NX*Y*
Racine carré
de la somme (Xi^2- NX*^2) x Somme(Yi^2 – NY*^2)
Ce
coefficient est compris entre -1 et 1
-1<= r <= 1
- b : Interprétation de r et le coefficient de la droite d’ajustement.
·
r = 0 : traduit l’absence
de corrélation a = a’= 0 => Y = b
·
r > 0 : indique que
les deux variables évoluent dans le même sens.
-
si X augmente alors Y augmente
aussi.
-
Si X diminue alors Y diminue aussi
Plus r est
proche de 1 et plus l’intensité de la liaison est importante.
·
r = 1 : traduit
l’existence d’une liaison fonctionnelle, dans ce cas b = b’ = 0 et a = a’ = 1. Il y a une
superposition des droites d’ajustement de Y en X et de X en Y.
·
r < 0 : traduit
l’évolution des variables.
-
si X diminue alors Y augmente
-
si X augmente alors Y diminue.
·
R = -1 : Correspond
également à une liaison fonctionnelle. Dans ce cas,
a = a’ = -1 et
b = b’ = Y* + X* ; droites d’ajustements sont confondues.
5. c : Observation :
<Le coefficient de corrélation
linéaire n’apporte aucune information sur le caractère causale de la relation
de deux variables considérées.
Application :
Une entreprise cherche à
caractériser la liaison entre ses bénéfices et sa production dans la phase de
lancement d’un nouveau produit, à l’aide du tableau suivant présentant, pour
des niveaux de production x, les bénéfices attendus y.
|
Niveaux de production
|
Bénéfices attendus
|
Niveaux de production
|
Bénéfices attendus
|
|
1
2
8
10
17
|
0.2
0.9
13.0
20.0
72.0
|
21
43
60
70
150
|
140
280
500
1.100
3.000
|
Déterminer la liaison simplifiée
entre ces 2 séries, en choisissant la forme la plus adéquate. Pour ce faire, on
représentera graphiquement le bénéfice en fonction de la production, puis on
examinera les hypothèses suivantes :
-
la liaison est linéaire de la
forme y = a. x + b
-
la liaison est une fonction
exponentielle de la forme y = b .a^x
-
la liaison est une fonction
puissance de la forme y = b. x^a
Dans chacun des cas étudiés, on
proposera l’équation sous sa forme définitive. On choisira l’ajustement dont le
degré de prévision est le plus élevé (calcul du coefficient de corrélation) et
on calculera les prévisions correspondants aux niveaux de production
suivants :
310, 320, 330 et 340
Ajustement
par moindre carré.
|
x*
|
|
|
|
|
|
|
|
y*
|
|
|
|
|
|
|
|
xi
|
yi
|
Xi=xi-x*
|
Yi=yi-y*
|
Xi^2
|
Yi^2
|
Xi.Yi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
0,2
|
-37,2
|
-512,41
|
1383,84
|
262564,008
|
19061,652
|
|
2
|
0,9
|
-36,2
|
-511,71
|
1310,44
|
261847,124
|
18523,902
|
|
8
|
13
|
-30,2
|
-499,61
|
912,04
|
249610,152
|
15088,222
|
|
10
|
20
|
-28,2
|
-492,61
|
795,24
|
242664,612
|
13891,602
|
|
17
|
72
|
-21,2
|
-440,61
|
449,44
|
194137,172
|
9340,932
|
|
21
|
140
|
-17,2
|
-372,61
|
295,84
|
138838,212
|
6408,892
|
|
43
|
280
|
4,8
|
-232,61
|
23,04
|
54107,4121
|
-1116,528
|
|
60
|
500
|
21,8
|
-12,61
|
475,24
|
159,0121
|
-274,898
|
|
70
|
1100
|
31,8
|
587,39
|
1011,24
|
345027,012
|
18679,002
|
|
150
|
3000
|
111,8
|
2487,39
|
12499,24
|
6187109,01
|
278090,202
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
382
|
5126,1
|
0
|
0
|
19155,6
|
7936063,73
|
377692,98
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
|
19,7171052
|
|
|
|
|
|
|
b
|
-240,583418
|
|
|
|
|
|
|
r
|
0.968
|
|
|
|
|
|
b= Y*
- aX* et a
= Somme(Xi – X*)( Y1 – Y*)
Somme (Xi – X*)^2
r
= somme ( Xi- X*)(Yi – Y*)
racine carré (somme(Xi-X*)^2 x somme(Yi –
Y*)^
Le coefficient de corrélation
vérifie la qualité de la corrélation entre -1 et 1.
Cas de tendance non linéaire :
La méthode de moindre carré reste valable. Si la série n’est pas linéaire, on
va utiliser un artifice pour la rendre linéaire. Cet artifice est l’ajustement
logarithmique.
Dans la fonction de type
exponentielle on va jouer sur l’axe des abscisses et dans la fonction de type
logarithmique on va jouer sur l’axe des ordonnés pour avoir un ajustement
linéaire.
Correction de l’exercice par
la fonction exponentielle.
|
x*
|
38,2
|
|||||||||
|
y*
|
||||||||||
|
xi
|
yi
|
log y
|
Xi=xi-x*
|
Yi=yi-y*
|
Xi^2
|
Yi^2
|
Xi.Yi
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1
|
0,2
|
-0,6990
|
-37,2
|
-2,4328
|
1383,84
|
5,9185
|
90,5003
|
|||
|
2
|
0,9
|
-0,0458
|
-36,2
|
-1,7796
|
1310,44
|
3,1669
|
64,4212
|
|||
|
8
|
13
|
1,1139
|
-30,2
|
-0,6199
|
912,04
|
0,3843
|
18,7207
|
|||
|
10
|
20
|
1,3010
|
-28,2
|
-0,4328
|
795,24
|
0,1873
|
12,2051
|
|||
|
17
|
72
|
1,8573
|
-21,2
|
0,1235
|
449,44
|
0,0153
|
-2,6182
|
|||
|
21
|
140
|
2,1461
|
-17,2
|
0,4123
|
295,84
|
0,1700
|
-7,0914
|
|||
|
43
|
280
|
2,4472
|
4,8
|
0,7133
|
23,04
|
0,5088
|
3,4240
|
|||
|
60
|
500
|
2,6990
|
21,8
|
0,9651
|
475,24
|
0,9315
|
21,0399
|
|||
|
70
|
1100
|
3,0414
|
31,8
|
1,3076
|
1011,24
|
1,7097
|
41,5803
|
|||
|
150
|
3000
|
3,4771
|
111,8
|
1,7433
|
12499,24
|
3,0390
|
194,8994
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
382
|
5126,1
|
17,3383
|
0
|
0
|
19155,6
|
16,0314
|
437,0815
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Y =
b.a^x
Log y = Log b + XLog a
= X log a + Log b => a= somme Xi.(logy –y*)/ Xi^2
Posons :
Y= log y ; B = log b ; A = Log a
L’égalité
devient : Y = B + A^X => Y= 0.8622 + 0.022817^x
A
= 0.022817 => a= 10 ^0.022817 = 1.053
B
= 0.8620 => b= 10^0.8620 = 7.277
Comme
y = b.a^x => y=7.2812 x 1.053^x
|
a
|
0,02281743
|
|
B
|
0,8622092
|
|
r
|
0,789
|
La corrélation n’est pas bonne à
cause de 0.789 d’où il faut essayer la tendance de fonction puissance qui
accordera moins d’importance à l’échelle de X.
Y = bX^a
Log y
= log b + a log x = a log x + log b
Posons :
Y
= log y ; X = log x ; B = log b
Y= a X + B
B= log b => b = 10^log b = 10^B
|
x*
|
|||||||||
|
y*
|
1,7338
|
||||||||
|
xi
|
yi
|
log xi
|
log y
|
Xi=logx-x*
|
Yi=yi-y*
|
Xi^2
|
Yi^2
|
Xi.Yi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
0,2
|
0,0000
|
-0,6990
|
-1,2190
|
-2,4328
|
1,4859
|
5,9185
|
2,9655
|
|
|
2
|
0,9
|
0,3010
|
-0,0458
|
-0,9179
|
-1,7796
|
0,8426
|
3,1669
|
1,6335
|
|
|
8
|
13
|
0,9031
|
1,1139
|
-0,3159
|
-0,6199
|
0,0998
|
0,3843
|
0,1958
|
|
|
10
|
20
|
1,0000
|
1,3010
|
-0,2190
|
-0,4328
|
0,0479
|
0,1873
|
0,0948
|
|
|
17
|
72
|
1,2304
|
1,8573
|
0,0115
|
0,1235
|
0,0001
|
0,0153
|
0,0014
|
|
|
21
|
140
|
1,3222
|
2,1461
|
0,1033
|
0,4123
|
0,0107
|
0,1700
|
0,0426
|
|
|
43
|
280
|
1,6335
|
2,4472
|
0,4145
|
0,7133
|
0,1718
|
0,5088
|
0,2957
|
|
|
60
|
500
|
1,7782
|
2,6990
|
0,5592
|
0,9651
|
0,3127
|
0,9315
|
0,5397
|
|
|
70
|
1100
|
1,8451
|
3,0414
|
0,6261
|
1,3076
|
0,3920
|
1,7097
|
0,8187
|
|
|
150
|
3000
|
2,1761
|
3,4771
|
0,9571
|
1,7433
|
0,9161
|
3,0390
|
1,6686
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
382
|
5126,1
|
12,1896
|
17,3383
|
0,0000
|
0
|
4,2796
|
16,0314
|
8,2562
|
|
|
a
|
1,9292
|
|
B
|
-0,6178
|
|
r
|
0,789
|
|
b
|
0,24123
|
Le coefficient de
corrélation r = 8.2562/ racine carré (4.2796*16.0314)
= 0.9968.
Equation : Y = 0.24123 * X^1.9292
Donc, c’est la fonction puissance
qui permet de mieux ajuster la droite.
La prise en compte de
variations particulières :
On procède à l’élimination de
variations saisonnières ; L’élimination des variations saisonnières d’une
série est un préalable nécessaire à la prévision de tout phénomène prévue à des
telles fluctuations.
-
D’abord éliminer l’effet
conjoncturel par le biais de la désaisonnalisation et ensuite étudier le
phénomène de fond.
Méthode des moyennes mobiles.
Cette méthode permet de mettre en
évidence la tendance de fond et d’éliminer tout phénomène cyclique. On obtient
une série désaisonnalisée qu’on ajustera. On trouve la droite d’une série
désaisonnalisée qu’on extrapole pour avoir la série.
Plusieurs méthodes :
-
méthode de double moyenne : On partage les nombres de points
du graphique en 2 séries tel que P + Q = N. La droite dont on cherche
l’équation passe par les points moyens des 2 groupes.
-
Méthode des moyennes mobiles : Pour désaisonnaliser, ce n’est
pas nécessaire d’utiliser des coefficients.
Application
Les productions trimestrielles de
l’entreprise Onie se présentent pour les 4 dernières années suivantes :
|
Années et trimestres
|
Productions
|
Années et trimestres
|
productions
|
|
N trimestre 1
N trimestre 2
N trimestre
3
N trimestre 4
N + 1 trimestre 1
N + 1 trimestre 2
N + 1 trimestre 3
N + 1 trimestre 4
|
8.000
8.500
6.000
7.500
8.500
9.000
6.500
8.000
|
N + 2 trimestre 1
N + 2 trimestre 2
N + 2 trimestre 3
N + 2 trimestre 4
N + 3 trimestre 1
N + 3 trimestre 2
N + 3 trimestre 3
N + 3 trimestre 4
|
9.300
9.800
7.300
8.800
10.200
10.700
8.200
9.700
|
Déterminer l’ajustement de cette
série par les méthodes suivantes :
-
La méthode de la double moyenne
-
La méthode de la moyenne mobile
(sur 4 périodes)
Elle pourra être ajustée par la méthode de
moindres carrés
-
La méthode de la moyenne mobile
(sur 5 périodes)
Représenter graphiquement les
droites ( ou courbes) correspondantes à chacune de ces méthodes utilisées.
Budget de production :
Méthode de simplex :
Comment traduire les équations en
tableaux.
- On transforme les inéquations du programme en équations, en introduisant des variables d’écarts.
- Une des solutions possibles consiste à ne retenir comme variable non nul que les variables d’écarts. Cette solution consiste à ne rien produire. Elle sera améliorée progressivement par l’algorithme du simplex en permutant à chaque étape ne variable nulle et une variable non nulle. On présente les coefficients de contraintes et de la fonction dans un tableau.
- La 1ère colonne du tableau correspond aux variables non nuls et l dernière colonne est la valeur des variables.
- Passage du tableau 1 au tableau 2 :
-
On sélectionne comme variable
entrant celle qui est plus forte sur la ligne des coefficients forts.
Pour déterminer les variables sortantes, on divise la dernière colonne du
tableau par la colonne de la variable entrante et on choisit comme variable
sortante celle qui correspond au minimum positif.
-
La variable entrante remplacera la
valeur sortante comme variable non nuls. Le coefficient situé à l’intersection
de la ligne et les lignes sélectionnées est appelé Pivot.
·
Transformation du tableau.
La variable entrante se substitue
à la variable sortante. Il faut obtenir dans la colonne entrante les
coefficients de la valeur sortante. Pour ce faire, on remplacera chaque ligne
par une combinaison des lignes sortantes. On obtient un nouvel tableau dans
lequel les valeurs entrantes remplaceront les valeurs sortantes.
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